هذه بطاقة مراجعة سريعة ومنظَّمة لوحدة الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة في مساق رياضيات 365 – علمي 5 لطلبة الصف الثالث الثانوي بمملكة البحرين. أُعدّت البطاقة بواسطة أ. محمود عبدالشهيد – وزارة التربية والتعليم، قسم الرياضيات.
1) الإحداثيات القطبية مقابل الإحداثيات الديكارتية
- التعريف: النقطة تُكتب قطبيًا على الصورة (r, θ) حيث r ≥ 0 هو البعد عن الأصل، وθ الزاوية من محور x الموجب.
- التحويل ديكارتي ← قطبي: r = √(x² + y²)، θ = atan2(y, x) (تأكد من الربع الصحيح).
- التحويل قطبي ← ديكارتي: x = r cosθ، y = r sinθ.
- ملاحظة زاوية: الزاوية θ غير وحيدة؛ θ + 2kπ تمثّل نفس الاتجاه.
2) تمثيل الأعداد المركبة وصيغ شائعة
- الصورة الجبرية: z = x + iy حيث x حقيقي وy حقيقي.
- المعيار (الطول): |z| = √(x² + y²)، والزاوية (Arg) باستخدام atan2(y, x).
- الصورة القطبية (الثرّيجونية): z = r (cosθ + i sinθ) وتُكتب اختصارًا r·cis(θ).
- صيغة أويلر: z = r e^{iθ} (مفيدة مع القوى والجذور).
3) عمليات على المركبات بالصورة القطبية
- الضرب: r₁cis(θ₁) · r₂cis(θ₂) = (r₁r₂) cis(θ₁+θ₂).
- القسمة: r₁cis(θ₁) ÷ r₂cis(θ₂) = (r₁/r₂) cis(θ₁−θ₂) بشرط r₂ ≠ 0.
- الأسس (مبرهنة دي موافر): [r·cis(θ)]^n = r^n · cis(nθ) حيث n عدد صحيح.
4) الجذور النونية لعدد مركب
لإيجاد الجذور النونية لـz = r·cis(θ)، تكون الحلول: z_k = r^{1/n} · cis((θ + 2kπ)/n), k = 0,1,…,n−1. توزَّع الجذور على دائرة نصف قطرها r^{1/n} بزوايا متساوية.
5) تحويلات ومسائل نموذجية سريعة
- تحويل نقطة: أعطيت (x, y) = (−√3, 1)، احسب r وθ وحدّد الربع بدقة.
- قوة عدد مركب: احسب (3 + i√3)^6 بتحويله إلى الصورة القطبية ثم تطبيق دي موافر.
- جد الجذور: أوجد الجذور التكعيبية لـ8·cis(π/3) وامثلها على المستوى العقدي.
- ضرب وقسمة: احسب z₁·z₂ وz₁/z₂ عندما z₁ = 2cis(π/6)، z₂ = 3cis(−π/3).
6) الأعداد المركبة: كلمات مفتاحية وتعريفات
- المرافق: إذا z = x + iy فـ \(\overline{z} = x − iy\)، وz·\overline{z} = |z|².
- القيمة المطلقة: |z| تمثل المسافة من الأصل.
- الحجة (Arg): الزاوية المقاسة من محور x الموجب عكس عقارب الساعة.
7) أخطاء شائعة يجب تجنبها
- نسيان استخدام atan2 أو عدم تصحيح الزاوية للربع المناسب، ما يغيّر الإشارة والاتجاه.
- الخلط بين الراديان والدرجات في الآلة الحاسبة؛ راجع إعدادات الزاوية.
- اعتبار θ وحيدًا؛ تذكّر أن θ + 2πk نفس الاتجاه.
- تطبيق دي موافر على الصورة الجبرية بدل القطبية؛ حوِّل أولًا.
8) نمط أسئلة الامتحان
- اختيار من متعدد: اختبار سريع لفهم التعاريف والتحويلات.
- أكمل الفراغ: صيَغ أساسية مثل x = r cosθ، y = r sinθ، وخواص cis.
- مسائل مُعزَّزة بالخطوات: تحويل ثم تطبيق (ضرب/قسمة/قوة/جذور) مع تمثيل هندسي.
