تعبير كتابي عن الطيبة مع الاشرار ضرب من الغباوة

ملخص رياضيات 261 (ثاني ثانوي) – احتمال، دوال نسبية، تغير

هذه الصفحة ترتّب ما جاء في مذكرة ريض 261 (محلول): تمثيل فضاء العينة، الاحتمال بالتباديل والتوافيق، الاحتمال الهندسي، الأحداث (مستقلة/غير مستقلة – متنافية/غير متنافية)، ثم التعابير والدوال النسبية (ضرب/قسمة/جمع/طرح وتمثيل)، وأخيرًا التغير (التناسب)، مع أمثلة محلولة كما بالمذكرة. المصدر: المذكرة المدرسية.  

 

محتويات الموضوع

1. 3-1 تمثيل فضاء العينة
2. 3-2 الاحتمال بالتباديل والتوافيق
3. 3-3 الاحتمال الهندسي
4. 3-5 أحداث مستقلة وغير مستقلة
5. 3-6 أحداث متنافية وغير متنافية
6. 4-1/4-2 التعابير النسبية: ضرب/قسمة/جمع/طرح
7. 4-3 تمثيل دوال المقلوب بيانيًا
8. 4-4 تمثيل الدوال النسبية بيانيًا
9. 4-5 التغيّر (التناسب) المباشر/العكسي
10. تدريب سريع (أسئلة قصيرة)
11. كلمات مفتاحية

3-1 تمثيل فضاء العينة

يَعرض الدرس تمثيلات بصرية (جداول/مخططات) لحالات مثل رمي قطعة نقد/نرد مرتين وقراءة جميع المخرجات الممكنة (مثل: W,D ، D,W ، D,D ، D,L ، L,D).

3-2 الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق

• الفكرة: احسب حجم فضاء العينة n(S) وعدد الحالات المرغوبة n(A) باستخدام التوافيق C والتباديل P، ثم P(A)=n(A)/n(S).

أمثلة محلولة من المذكرة:

1. اختيار 3 عناصر من 10 بحيث تتحقق حالة واحدة فقط مرادة:
   n(S)=10C3=120، n(A)=3C3=1 ⇒ P(A)=1/120.
2. ترتيبات 5 عناصر مع تكرار عنصرين متماثلين:
   n(S)=5!/2!=60، n(A)=1 ⇒ P(A)=1/60.
3. موضع ذو مرجع: n(S)=5! وn(A)=4! ⇒ P(A)=4!/5!=1/5.
4. حالة عامة: n(S)=(n−1)!، n(A)=(n−2)!×2 ⇒ P(A)=(n−2)!×2/(n−1)! = 2/(n−1)؛ ولـ n=11 نحصل على P=1/5.

3-3 الاحتمال الهندسي

احسب الاحتمال كنسبة الجزء المظلل / الشكل الكامل (مساحات أو أطوال أو زوايا).

أمثلة من المذكرة:

• دائرة مُقسّمة إلى قطاعات 45°، مظلل منها 3 قطاعات: P=3×45°/360°=3/8.
• اختيار نقطة على قطعة مستقيمة JM بطول 14 بحيث تقع في KM طولها 11: P=KM/JM=11/14، وعلى LM طولها 4: P=LM/JM=2/7.
• مستطيل 10×16 ⇒ المساحة الكلية 160. دائرة نصف قطرها 5 ⇒ مساحة 25π داخل المستطيل ومظللة خارجه: P=(160−25π)/160 ≈ 0.5.

3-5 الأحداث المستقلة وغير المستقلة

للأحداث المستقلة: P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C).

أمثلة من المذكرة:

• سحب كرات: P(A∩B∩C)=(5/9)×(4/8)×(4/7)=10/63.
• احتمال حدثين مستقلين: P(A∩B)=(5/9)×(3/8)=5/24.
• نسب مئوية مستقلة: P(A∩B∩C)=(20/100)³=1/125، وP(A∩B)=(13/100)²=0.0169.

3-6 الأحداث المتنافية وغير المتنافية

• متنافية: لا تجتمع، إذًا P(A∪B)=P(A)+P(B). مثال رمي نرد: عدد زوجي A={2,4,6} وعدد يقبل القسمة على 5 B={5} ⇒ P=3/6+1/6=2/3.
• غير متنافية: قد تجتمع، إذًا P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). مثال من 1 إلى 20: فردي A، ومضاعفات 5 B ⇒ P=10/20+4/20−2/20=3/5.
• استبيان هوايات/أعمار: P(A∪B)=104/300+92/300−42/300=154/300=77/150.

4-1/4-2 التعابير النسبية: ضرب وقسمة وجمع وطرح

القاعدة: حلّل ثم اختزل قبل الضرب/القسمة/التجميع على مقام مشترك.

أمثلة محلولة كما بالمذكرة:

1. قسمة كسرين نسبيين:
   (2a)/(3) · (x−y)/(4a²) × (x²−y²) ⇒ (x²−y²)=(x−y)(x+y)
   النتيجة: (x+y)/(6a)
2. تبسيط حاصل ضرب/قسمة متعددة:
   ((x+4)/(x−5))·((x+4)/(2x+3)) × ((x+1)/(x+4)) ÷ ((x+1)/(x−5)) ⇒ x/(x−2)
3. طرح كسور نسبية:
   4/(3x+2) − (x+1)/((x+2)(x−2)) ⇒ المقام المشترك (3x+2)(x−2)
   النتيجة: (x−11)/((3x+2)(x−2))
4. مثال تجميع بسيط: 4/(a²−2ab+4b²) + (a+2b)/(a+2b) = 4/(a²−2ab+4b²) (وفق ترتيب المذكرة).

4-3 تمثيل دوال المقلوب بيانيًا

• الشكل الأساسي للدالة y = k/x فروع هايبرولية في ربعي المستوى.
• المجال/المدى: تستثنى قيم تجعل المقام صفرًا. الخطوط التقاربية: رأسية عند جذور المقام، وأفقية وفق درجات البسط/المقام.
• التحويلات: الإزاحة/الانعكاس/التمدد وفق صيغة y = a/(x−h) + k.

4-4 تمثيل الدوال النسبية بيانيًا

• حلّل المقام لتحديد التقاربات الرأسية وصفر البسط للنقاط المقطعية.
• قارن الدرجات لتحديد التقارب الأفقي/المائل.
• ارسم جدول قيم حول التقاربات لإظهار سلوك الفروع.

4-5 التغيّر (التناسب المباشر/العكسي)

التناسب المباشر: a₁/b₁ = a₂/b₂. التناسب العكسي: a₁·b₁ = a₂·b₂.

مثال من المذكرة (مباشر):

a₁=9, b₁=6, b₂=10 ⇒ 9/6 = a₂/10 ⇒ 6·a₂ = 90 ⇒ a₂ = 15

تدريب سريع

1. صُمّم فضاء العينة لرمي نردتين واكتب احتمال ظهور مجموع = 7.
2. باستخدام التوافيق: من 12 لاعبًا اختر فريقًا من 5 مع قائد واحد؛ احسب عدد الطرق واحتمال اختيار قائد معيّن.
3. احسب احتمال وقوع نقطة عشوائية داخل قطاع زاويته 60° من دائرة كاملة.
4. بسّط: ((x²−9)/(x²−x−6)) ÷ ((x−3)/(x+2)).
5. حدّد التقاربات ومجال الدالة y=(2x+1)/(x²−1) ثم ارسم سلوك الفروع.
6. مسألة تغير مباشر: إذا كان y ∝ x وy=18 عندما x=6، أوجد y عندما x=15.

كلمات مفتاحية

رياضيات 261 البحرين، احتمال بالتباديل والتوافيق، احتمال هندسي، أحداث مستقلة/متنافية، تعابير نسبية، دوال نسبية، مقلوب، تقاربات، تغيّر مباشر وعكسي، البحرين التعليمية.

تحميل الملف  -- بدون حل 

تعديل المقال