هذه بطاقة مراجعة مختصرة ومرتّبة لوحدة الإحصاء والتوزيعات الاحتمالية في مساق رياضيات 365 – علمي 5 لطلبة الصف الثالث الثانوي بمملكة البحرين، أعدّها الأستاذ محمود عبدالشهيد – وزارة التربية والتعليم، قسم الرياضيات.
1) مفاهيم أساسية لا بدّ منها
- المجتمع الإحصائي (Population): كل المفردات التي تهمّنا بالدراسة.
- العينة (Sample): جزء ممثّل من المجتمع، نستخدمه للاستدلال.
- المتغيّر العشوائي: منفصل (قيم معدودة كعدد المحاولات) أو مستمر (قيم على مدى حقيقي كالأطوال).
- المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال: مقاييس نزعة مركزية؛ تذكّر متى يكون كلٌّ منها أنسب للبيانات الملتوية أو ذات القيم الشاذة.
- التباين والانحراف المعياري: يقيسان تشتّت البيانات حول المتوسط، ويفيدان في المقارنة بين توزيعين.
2) التوزيعات المنفصلة الشائعة
- ذو الحدّين (Binomial): محاولات مستقلة، نجاح/فشل، احتمال ثابت p، وعدد المحاولات n.
الدالة: P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k}، E[X]=np، Var[X]=np(1−p). - بواسون (Poisson): لعدّ الأحداث النادرة خلال زمن/مساحة ثابتة بمعدل λ.
الدالة: P(X=k)= e^{−λ} λ^k / k!، E[X]=Var[X]=λ. - هندسي (Geometric): عدد المحاولات حتى أول نجاح: P(X=k)=(1−p)^{k−1}p.
3) التوزيع الطبيعي (Normal) والتقييس (Z-Score)
التوزيع الطبيعي N(μ, σ²) متماثل حول μ. للتعامل مع الجداول نُحوِّل أي قيمة x إلى z = (x−μ)/σ ثم نستخدم جدول التوزيع القياسي N(0,1) لإيجاد الاحتمالات. تذكّر: تقريب ذو الحدّين إلى الطبيعي صالح عندما np ≥ 5 وn(1−p) ≥ 5 (مع تصحيح الاستمرارية إن لزم).
4) خطوات حلّ سؤال احتمالي بسرعة وبدقّة
- عرّف النموذج: هل هو حدّيني؟ بواسون؟ طبيعي؟ هندسي؟
- حدّد المعطيات: n, p أو λ أو μ, σ، ونوع الاحتمال (يساوي/أصغر/أكبر/بين قيمتين).
- اكتب القانون صريحًا: قبل التعويض لتجنّب الأخطاء.
- احسب وفسّر: اذكر النتيجة بوحدة مناسبة وبصيغة جملة مفهومة.
5) قياس النزعة المركزية والتشتّت: تذكير سريع
- المتوسط: حسّاس للقيم الشاذة؛ استخدم الوسيط إذا كانت البيانات ملتوية.
- المدى والتباين والانحراف المعياري: كلّما زاد التشتّت زادت صعوبة التنبؤ.
- معامل الاختلاف (CV): CV = (σ/μ)×100% للمقارنة بين مجموعات بوحدات مختلفة.
6) تجميع البيانات والعروض البيانية
- المدرّج التكراري (Histogram): مناسب للمتغيّرات المستمرة.
- المخطّط الصندوقي (Box-Plot): يُظهر الوسيط ومجال الربيعين والقيم الشاذة.
- المنحنى الطبيعي: افحص التماثل والتفلطح؛ البيانات الطبيعية تقريبًا تتّبع قاعدة 68%–95%–99.7%.
7) أسئلة تدريبية بنمط الامتحان
- ذو الحدّين: مصنع نسبة نجاحه p=0.9 خلال n=8 قطع. احسب P(X≥7) ثم التوقّع والتباين.
- بواسون: معدل الحوادث λ=2 يوميًا. جد احتمال حدوث ثلاثة أو أكثر في يوم واحد.
- طبيعي: أطوال بطاقات N(μ=12, σ=0.5) سم. ما احتمال أن تقع بين 11.2 و12.4 سم؟ (حوّل إلى Z).
- هندسي: احتمال النجاح p=0.2. ما احتمال أن يحدث أول نجاح في المحاولة الخامسة؟
8) أخطاء شائعة وكيف تتفاداها
- الخلط بين المتغيّر المنفصل والمستمر (لا تستخدم دوال كثافة مستمرة لمسألة عدّ منفصلة).
- نسيان تصحيح الاستمرارية عند تقريب الحدّيني إلى الطبيعي.
- سوء تحديد الحدث (≥، >، ≤، <)؛ ارسم خط أعداد قبل الحساب.
- استخدام σ وs بالتبادل: الأولى انحراف معياري للمجتمع، والثانية للعينة.
